Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.

Перепишем неравенства, выделив полные квадраты: (x - a)² + (y + a)² ≤ (a + 1)² (x + 2a)² + (y - 3a)² ≤ (4a - 1)² Решение первого неравенства - замкнутый круг с центром в точке (a, -a) и радиусом |a + 1| Решение второго неравенства - замкнутый круг с центром в точке (-2a, 3a) и радиусом |4a - 1| Понятно, что у системы будет единственное решение, если круги будут внешне касаться, так получится, если расстояние между центрами совпадет с суммой радиусов.  Расстояние между центрами по теореме Пифагора равно √((3a)² + (4a)²) = 5|a|, сумма радиусов |a + 1| + |4a - 1| 5|a| = |a + 1| + |4a - 1| а) a ≤ -1: -5a = -a - 1 - 4a + 1 0 = 0 - верное равенство, все a ≤ -1 входят в ответ б) -1 < a ≤ 0: -5a = a + 1 - 4a + 1 a = -1 - не входит в диапазон, не решение в) 0 < a ≤ 1/4: 5a = a + 1 - 4a + 1 a = 1/4 - решение г) a > 1/4: 5a = a + 1 + 4a - 1 0 = 0 - верное равенство, весь промежуток входит в ответ. Ответ. a ∈ (-∞, -1] ∪ [1/4, +∞)