Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресси , если сумма всех членов прогресси равна 2 , а сумма квадратов всех членов этой прогресси равна 5.

Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии ([latex]b_n[/latex]) имеем по условию: [latex]S=b_1+b_2+b_3+...=\dfrac{b_1}{1-q}=2[/latex], где q - знаменатель исходной прогрессии. Теперь рассмотрим прогрессию ([latex]c_n[/latex]), составленную из квадратов членов исходной прогрессии, т.е. [latex]c_1=(b_1)^2,\ c_2=(b_2)^2,\ c_3=(b_3)^2,\ ...[/latex]. Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,[latex]\tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=5[/latex], где [latex]\tilde{q}[/latex] - знаменатель уже новой прогрессии. [latex]\tilde{q}=\frac{(b_2)^2}{(b_1)^2}=(\frac{b_2}{b_1})^2=q^2[/latex] Преобразуем: [latex]\tilde{S}=5=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{(b_1)^2}{1-q^2}}[/latex] Получим систему уравнений: [latex]\begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=2 \\ \frac{(b_1)^2}{1-q^2}=5 \end{cases}[/latex] Делим первое на второе и запишем в первой строке системы: [latex]\begin{cases} \frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(b_1)^2}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases} [/latex] <=> [latex]\begin{cases} \frac{1+q}{b_1}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases}[/latex] [latex]\frac{1+q}{2-2q}= \frac{2}{5} \\ 5+5q=4-4q \\ 9q=- 1 \\ q=- \frac{1}{9} [/latex] Ответ: [latex]- \frac{1}{9} [/latex]