Найти частное решение дифференциального уравнения. y' + y = 2x; y(0) = −1

нам дано однородное уравнение первого порядка решать будем так: сделаем замену [latex]y=uv[/latex] [latex]u'v+uv'+uv=2x[/latex] [latex] \left \{ {{v'+v=0} \atop {u'v=2x}} \right. [/latex] [latex] \frac{dv}{dx} =-v[/latex] [latex] \frac{dv}{v} =-dx[/latex] [latex]lnv=-x[/latex] [latex]v=e^{-x}[/latex] [latex] \frac{du}{dx} e^{-x}=2x[/latex] [latex] \int du=\int 2xe^xdx[/latex] проинтегрируем правую часть по частям [latex]a=x; db=2e^xdx[/latex] [latex]da=dx;b=2e^x[/latex] [latex]u=2xe^x-\int 2e^xdx=2xe^x-2e^x+C=2e^x(x-1)+C[/latex] [latex]y=uv=e^{-x}*(2e^x(x-1)+C)=2(x-1)+Ce^{-x}[/latex] Найдем С [latex]2(0-1)+Ce^{0}=-1[/latex] [latex]-2+C=-1[/latex] [latex]C=1[/latex] Ответ: [latex]y=2(x-1)+e^{-x}[/latex]