Найти частное решение дифференциального уравнения. y' + y = 2x; y(0) = −1
Найти частное решение дифференциального уравнения. y' + y = 2x; y(0) = −1
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
нам дано однородное уравнение первого порядка
решать будем так: сделаем замену [latex]y=uv[/latex]
[latex]u'v+uv'+uv=2x[/latex]
[latex] \left \{ {{v'+v=0} \atop {u'v=2x}} \right. [/latex]
[latex] \frac{dv}{dx} =-v[/latex]
[latex] \frac{dv}{v} =-dx[/latex]
[latex]lnv=-x[/latex]
[latex]v=e^{-x}[/latex]
[latex] \frac{du}{dx} e^{-x}=2x[/latex]
[latex] \int du=\int 2xe^xdx[/latex]
проинтегрируем правую часть по частям
[latex]a=x; db=2e^xdx[/latex]
[latex]da=dx;b=2e^x[/latex]
[latex]u=2xe^x-\int 2e^xdx=2xe^x-2e^x+C=2e^x(x-1)+C[/latex]
[latex]y=uv=e^{-x}*(2e^x(x-1)+C)=2(x-1)+Ce^{-x}[/latex]
Найдем С
[latex]2(0-1)+Ce^{0}=-1[/latex]
[latex]-2+C=-1[/latex]
[latex]C=1[/latex]
Ответ: [latex]y=2(x-1)+e^{-x}[/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы