Найти диагональ прямоугольника наибольшей площади вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 и 24 и имеющего с ним общий прямой угол

Решение:  Введем обозначения:  АВС - данный треугольник, угол С=90, ВС=24; АС=18, СКТМ - вписанный четырехугольник, К лежит на стороне ВС, Т-на гипотенузе.  Обозначим СК=х, тогда в силу подобия треугольников КВТ и СВА имеем:  ВС/ВК=СА/КТ  КТ=18*(24-х)/24=3/4*(24-х)  Найдем площадь полученного четырехугольника:  S(x)=CK*KT=3x/4*(24-x)=(72x-3x²)/4  Исследуем получаенную функцию S(x) на экстремум:  S'(x)=18-3x/2; S'(x)=0  18-3x/2=0  x=12  Тогда КТ=9  d=√(144+91)=15