Найти экстремум функций и точки экстремума функций z=z(x;y) определить вид экстремума минимум и максимум. z=-5x^2+2y^2+4x-8y

действовать будем так: найдем производную функции по х и по у, приравняем их к 0, составим систему и найдем решение. Это решение будет стационарной точкой [latex]z=-5x^2+2y^2+4x-8y[/latex] [latex]z'_x=-10x+4[/latex] [latex]z'_y=4y-8[/latex] [latex] \left \{ {{-10x+4=0} \atop {4y-8=0}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{x=0.4} \atop {y=2}} \right. [/latex] стационарная точка - (0,4;2) Далее необходимо определить характер этой самой точки - максимум это, или минимум. Для этого составим матрицу из вторых производных и проверим ее главные миноры. Так как у нас функция 2 переменных, то матрица будет размерности 2*2, следовательно, главные миноры - это вторая производная по хх, и определитель всей матрицы. Если определитель матрицы положительный, то экстремум существует и его характер проверяется по знаку второй производной по хх, если отрицательный, то экстремума нет.  [latex]z''_{xx}=-10[/latex] [latex]z''_{xy}=0[/latex] [latex]z''_{yx}=0[/latex] [latex]z''_{yy}=4[/latex] [latex]W= \left[\begin{array}{cc}z''_{xx}&z''_{xy}\\z''_{yx}&z''_{yy}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10&0\\0&4\end{array}\right] [/latex] [latex]|W|=-10*4=-40[/latex] Как видно, определитель матрицы меньше 0, поэтому глобального экстремума нет