Найти интеграл x*arcsinx

∫ x*arcsin(x)dx Воспользуемся формулой: ∫udv=uv-∫vdu Сделаем замену u=arcsin(x) du=dx/√(1-x^2)   xdx=dv v=x^2/2   тогда   ∫ x*arcsin(x)dx =(x^2/2)*arcsin(x)- ∫(x^2/2/√(1-x^2)dx=   ==(x^2/2)*arcsin(x)- (1/2)∫(x^2/√(1-x^2)dx   для нахождения интеграла   (1/2)*∫(x^2/√(1-x^2)dx Сделаем замену   x = sin(u) dx=cos(u)du   (1/2)*∫(x^2/√(1-x^2)dx=(1/2)*∫((sin^2(u)/ √(1-sin^2(u)))*cos(u)du=   =(1/2)* ∫(sin^2(u)/ √(cos^2(x))*cos(u)du=   =(1/2)* ∫(sin^2(u)/ cos(u))*cos(u)du=(1/2) ∫sin^2(u)du=(1/2) ∫((1-cos(2u)/2)du=   =(1/4) ∫(1-cos(2u))du=(1/4) ∫du-(1/4) ∫cos(2u)du=u/4-sin(2u)/8+c=   =u/4-sin(u)*cos(u)/4+c   Так как sin(u)=x => u=arcsin(x) и cos(u)=  √(1-sin^2(u))= √(1-x^2) то получим, что   u/4-sin(u)*cos(u)/4+c =arcsin(x)/4-(x/4)* √(1-x^2)+c   и в целом   ∫ x*arcsin(x)dx ==(x^2/2)*arcsin(x)-arcsin(x)/4+(x/4)* √(1-x^2)+c