Найти координаты центра и радиус круга 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0

[latex]\displaystyle 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0.[/latex] Решим для [latex]\displaystyle x[/latex]: [latex]\displaystyle 4x^2-4x+(4y^2+20y-23)=0;[/latex] [latex]\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{16-16(4y^2+20y-23)}}{8}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{16-64y^2-320y+368}}{\sqrt{8^2}}=[/latex] [latex]\displaystyle =\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{384-64y^2-320y}{64}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{-y^2-5y+6}.[/latex] Найдём [latex]\displaystyle x[/latex] при [latex]\displaystyle y=0:[/latex] [latex]\displaystyle x=\frac{1}{2}\pm\sqrt{6}.[/latex] Абсцисса центра находится посередине между найденными: [latex]\displaystyle O_x=\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{6}+\frac{1}{2}+\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{2}.[/latex] Решим для [latex]\displaystyle y[/latex]: [latex]\displaystyle 4y^2+20y+(4x^2-4x-23)=0;[/latex] [latex]\displaystyle y=\frac{-20\pm\sqrt{400-16(4x^2-4x-23)}}{8}=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{400-64x^2+64x+368}}{\sqrt{8^2}}=[/latex] [latex]\displaystyle =\pm\sqrt{\frac{768-64x^2+64x}{64}}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{-x^2+x+12}-\frac{5}{2}.[/latex] Найдём [latex]\displaystyle y[/latex] при [latex]\displaystyle x=0:[/latex] [latex]\displaystyle y=\pm\sqrt{12}-\frac{5}{2}.[/latex] Ордината центра находится посередине между найденными: [latex]\displaystyle O_y=\frac{\sqrt{12}-\frac{5}{2}-\sqrt{12}-\frac{5}{2}}{2}=-\frac{5}{2}.[/latex] Центр окружности находится в точке [latex]\displaystyle O=\Big(O_x;O_y\Big)=\boxed{{\Big(\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\Big)}}\phantom{.}.[/latex] Найдём ординаты точек на окружности с абсциссой её центра: [latex]\displaystyle y=\pm\sqrt{-O_x^{\phantom{x}2}+O_x+12}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{-\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\frac{1}{2}+12}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{\frac{1}{4}+12\cdot\frac{4}{4}}-\frac{5}{2}=[/latex] [latex]\displaystyle =\pm\sqrt{\frac{1+48}{4}}-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}-\frac{5}{2}=\frac{\pm 7-5}{2}.[/latex] Половина расстояния между найденными ординатами есть радиус: [latex]\displaystyle r=\frac{\left|\frac{7-5}{2}-\frac{-7-5}{2}\right|}{2}=\frac{\left|\frac{7}{2}+\frac{7}{2}\right|}{2}=\frac{\left|7\right|}{2}=\boxed{\frac{7}{2}}\phantom{.}.[/latex]