Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - R. 

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора: [latex]a^2+b^2=c^2[/latex] Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем: [latex]a^2+b^2=(2R)^2 \\\ a^2+b^2=4R^2[/latex] Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части: [latex]a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab \\\ a^2+b^2+2ab=4R^2+ \frac{4ab}{2}[/latex] Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то: [latex](a+b)^2=4R^2+4S \\\ a+b=2 \sqrt{ R^2+S} [/latex] Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим: [latex]S= \frac{a+b+c}{2}\cdot r[/latex] Подставим вместо а+b и с известные выражения: [latex]S= \frac{2 \sqrt{ R^2+S}+2R}{2}\cdot r[/latex] Выполняем преобразования: [latex] \frac{S}{r} = \sqrt{ R^2+S}+R \\\ \frac{S}{r} -R= \sqrt{ R^2+S} \\\ [/latex] Возведем обе части в квадрат: [latex]\frac{S^2}{r^2}- \frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S [/latex] R² взаимно уничтожается, сокращаем на S: [latex] \frac{S}{r^2}- \frac{2R}{r} =1[/latex] Домножаем на r: [latex]S-2Rr =r^2 \\\ \Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)[/latex] Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности) Ответ: 2Rr+r²

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой: Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам. Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами: [latex]a[/latex] [latex]b[/latex] [latex]c=2R[/latex] Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты: [latex]a^2+b^2=c^2=4R^2[/latex] Так как площадь прямоугольного треугольника равна: [latex]S=\frac{ab}{2}[/latex] получаем [latex]ab=2S[/latex] тогда [latex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S[/latex] Получаем: [latex]a+b=\sqrt{4R^2+4S}[/latex] Зная, что площадь равна: [latex]S=pr=\frac{(a+b+c)}{2}*r[/latex] Получаем: [latex]a+b+c=\frac{2S}{r}[/latex] тогда получаем: [latex]a+b=\sqrt{4R^2+4S}[/latex] Прибавим [latex]c[/latex] с обеих сторон: [latex]a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+c[/latex] т.к [latex]c=2R[/latex] Получаем: [latex]a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+2R[/latex] так как [latex]a+b+c=\frac{2S}{r}[/latex] получаем: [latex]\sqrt{4R^2+4S}+2R=\frac{2S}{r}[/latex] [latex]\sqrt{4R^2+4S}=\frac{2S}{r}-2R[/latex] [latex]4R^2+4S=(\frac{2S}{r}-2R)^2[/latex] [latex]4R^2+4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}+4R^2[/latex] [latex]4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}[/latex] Делим все на [latex]4S[/latex]: [latex]1=\frac{S}{r^2}-\frac{2R}{r}[/latex] [latex]r^2=S-2Rr[/latex] Откуда получаем: [latex]S=r^2+2Rr[/latex] Ответ: [latex]S=r^2+2Rr[/latex]