Найти проекцию точки А(5;6) на прямую, проходящую через точки В(1;4) и С(3;10).

Пусть P(x; y) - проекция А на ВС. Тогда векторы [latex]\vec{PA}[/latex] и [latex]\vec{BC}[/latex] перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно 0. [latex]\vec{PA}=\{5-x; 6-y\};\ \vec{BC}=\{2; 6\}\\ \\ =\ \textgreater \ \vec{PA} \cdot \vec{BC} = 10-2x+36-6y=0\ =\ \textgreater \ x+3y=23.[/latex] Т.к. P(x; y)∈BC, то векторы BP и ВС сонаправлены и их координаты пропорциональны, т.е. для [latex]\vec{BP}=\{x-1;\ y-4 \}[/latex] и [latex]\vec{BC}=\{2; 6\}[/latex] получим соотношение [latex] \frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{6} \ =\ \textgreater \ x-1= \frac{y-4}{3} \ =\ \textgreater \ 3x-y=-1.[/latex] Решаем далее систему  [latex]\left \{ x+3y=23} \atop {3x-y=-1} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ x+3y=23} \atop {9x-3y=-3} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ 10x=20} \atop {y=3x+1} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ x=2} \atop {y=7} \right.[/latex] Значит, Р(2; 7) - искомая проекция точки А на прямую ВС. Ответ: Р(2; 7).