Найти разность арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, у которого Sm:Sn= m^2:n^2, где Sm-сумма m первых членов , Sn-сумма n членов

По известной формуле распишем сумму m и n первых членов арифметической прогрессии: [latex]S_{m}=\frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}*m,[/latex] [latex]S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n.[/latex] Из условия получим следующее уравнение: [latex]\frac{(2a_{1}+d(m-1))*m}{(2a_{1}+d(n-1))*n}\ =\ \frac{m^2}{n^2}.[/latex] Или, раскрыв пропорцию, получим: [latex]2a_{1}n+dn(m-1)\ =\ 2a_{1}m+dm(n-1).[/latex] [latex]2a_{1}(n-m)\ +\ d(mn-n-mn+m)\ =\ 0,[/latex] [latex](n-m)(2a_{1}-d)\ =\ 0. [/latex] Так как [latex]n\neq\ m,[/latex] получим: [latex]d\ =\ 2a_{1}\ =\ 2.[/latex] Ответ: 2.

Пусть  D - разность прогрессии. Тогда  Sm = (1+1+D*(m-1))*m=(D*m-D+2)*m Следовательно (D*m-D+2)*m       m^2                    D*m-D+2      m ----------------- = -------  ,  откуда   ------------ = ----- (D*n-D+2)*n         n^2                     D*n-D+2       n   D*m*n-D*n+2*n=D*m*n-D*m+2*m D*(m-n)=2*(m-n) .  Поскольку m и n -  разные числа, то D = 2