Найти стороны треугольника ABC, если его биссектриса BL = 4 и медиана AM = 4 перпендикулярны друг другу.

Пусть P — точка пересечения отрезков BL и AM. Треугольник ABM — равнобедренный, т.к. его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PM = 2, BC = 2BM = 2AB. По свойству биссектрисы треугольника CL/AL=BC/AB=2,  т.е. AC = 3AL. Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AM. Тогда BK = AC = 3AL. Из продобия треугольников APL и KPB следует, что PL/BP=AL/BK=1/3   Поэтому PL = 1 и BP = 3. Следовательно, АВ²=АР²+ВР²=4+9=13, АВ=√13 ВС=2АВ=2√13 АL²=АР²+PL²=4+1=5. PL=√5 AC=3√5 Ответ √13, 2√13, 3√5