Найти сумму действительных корней уравнения: [latex]x^{4}-2x^{2}-12x-8=0[/latex]

Используем метод неопределённых коэффициентов.Предположим, что левая часть уравнения разлагается на множители второй степени с целыми коэффициентами. Обозначим один из них через [latex]x^2+px+q[/latex], другой - через [latex]x^2+rx+s[/latex]. Задача сводится к нахождению p, q, r, s. Тогда [latex]x^4-2x^2-12x-8=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0[/latex] [latex]\begin{cases} p+r=0\\q+s+pr=-2\\ps+qr=-12\\qs=-8 \end{cases}[/latex] Можно попробовать взять q=4, s=-2, тогда p=2, r=-2, а уравнение может быть представлено в виде: [latex]x^4-2x^2-12x-8=(x^2+2x+4)(x^2-2x-2)=0[/latex] [latex]x^2+2x+4=0[/latex] не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше 0 (2^2-4*4=-12). [latex]x^2-2x-2=0[/latex] [latex]x_1=(2+\sqrt{12})/2=1+\sqrt{3}[/latex] [latex]x_2=(2-\sqrt{12})/2=1-\sqrt{3}[/latex] Сумма корней: [latex]x_1+x_2=1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=2[/latex] если взять q=-4, s=2, тогда p=-2, r=2, а уравнение может быть представлено в виде: [latex]x^4-2x^2-12x-8=(x^2-2x-4)(x^2+2x+2)=0[/latex] [latex]x^2-2x-4=0[/latex] [latex]x_1=(2+\sqrt{20})/2=1+\sqrt{5}[/latex] [latex]x_2=(2-\sqrt{20})/2=1-\sqrt{5}[/latex] [latex]x^2+2x+2=0[/latex] не имеет действительных корней, так как дискриминант меньше 0 (2^2-4*2=-4). Сумма корней: [latex]x_1+x_2=1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}=2[/latex] Ответ: 2.