Найти тангенс (альфа+пи/4) если косинус 2альфа=1/3 и альфа принадлежит(0;пи/2)

[latex]tg(a+\frac{\pi}{4})=\frac{tga+tg\frac{\pi}{4}}{1-tga*tg\frac{\pi}{4}}=\frac{1+tga}{1-tga};[/latex] (1) Теперь cos2a выразим через tga и сделав замену переменной tga = t, получим уравнение для t: [latex]cos2a=\frac{1-tg^2a}{1+tg^2a}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1}{3};[/latex] [latex]3-3t^2=1+t^2;\ \ \ 4t^2=2;\ \ \ t=\frac{1}{\sqrt{2}}.[/latex]                   (2) Взяли t положительным, так как в I четверти тангенс положителен. Теперь находим искомое значение, подставив (2) в (1): [latex]tg(a+\frac{\pi}{4})=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}.[/latex]   Ответ: [latex]3+2\sqrt{2}.[/latex]