Найти тангенсы острых углов прямоугольного треугольника зная что радиус вписанной окружности относится к радиусу описанной окружности около него окружности как 2:5

[latex]\cfrac{r}{R}=\cfrac{2}{5}[/latex] [latex]ab=(a+b+c)r\\c=2R\\r(a+b)+2Rr=ab[/latex] Так как: [latex]r=\cfrac{a+b-c}{2}\\a+b=2r+c=2r+2R[/latex] Получаем: [latex]r(a+b)+2Rr=r(2r+2R)+2Rr=2r^2+4Rr=ab[/latex] [latex]r=\cfrac{2}{5}R[/latex] [latex]2\cdot\cfrac{4}{25}\cdot R^2+4\cdot R\cdot\cfrac{2}{5}\cdot R=\cfrac{8R^2}{25}+\cfrac{8R^2}{5}=\cfrac{48}{25}R^2=ab[/latex] [latex]c=2R\\c^2=4R^2\\a^2+b^2=4R^2\\R^2=\cfrac{a^2+b^2}{4}[/latex] [latex]\cfrac{48}{25}\cdot\cfrac{a^2+b^2}{4}=ab\\\cfrac{12}{25}\cdot (a^2+b^2)=ab[/latex] Делим обе части на [latex]a^2[/latex]: [latex]1+\cfrac{b^2}{a^2}=\cfrac{b}{a}\cdot\cfrac{25}{12}[/latex] [latex]\cfrac{b^2}{a^2}-\cfrac{b}{a}\cdot\cfrac{25}{12}+1=0[/latex] [latex]\cfrac{b}{a}=x\\x^2-\cfrac{25}{12}\cdot x+1=0\\x=\cfrac{12}{13}[/latex] Получаем: [latex]\cfrac{b}{a}=\cfrac{12}{13}[/latex] [latex]ctg\beta=tg\alpha=\cfrac{12}{13}[/latex] [latex]ctg\alpha=tg\beta=\cfrac{13}{12}[/latex]