Найти целые числа k и m, удовлетворяющие условию 2^(2k+1)  + 2^k = m^2/

[latex]2^{2k+1} + 2^k = m^2\\ 2^k(2\cdot2^k+1)=m^2[/latex] Пусть сначала k>0. Так как первый сомножитель делится на 2, а второй не делится, то 2^k должно быть полным квадратом, т.е. k четно; k=2K. Если первый сомножитель представляется полным квадратом, то и второй сомножитель - полный квадрат. 2^(2K+1)+1=m^2 2^(2K+1)=(m-1)(m+1) Стало быть, m нечетно; m=2M+1 2^(2K+1)=2M*2(M+1) 2^(2K-1)=M*(M+1) Последнее равенство при целых M, K выполняется, если: - 2K-1=0 - не может такого быть - M=0, тогда 2K-1=0, чего опять быть не может. Итак, единственный возможный вариант - k=0. Подставим: 2^1+2^0=m^2 m^2=3 Это  уравнение не имеет целочисленных корней.   Теперь k<0.  k=-1: 2^(-1)+2^(-1)=m^2 1=m^2 m=+-1 k<-2: первое число - несократимая дробь со знаменателем -(2k+1), второе - дробь со знаменателем (-k). При рассматриваемых k -(2k+1)>-k, так что сумма дробей не является целым числом.   Ответ. (k,m)=(-1,+-1).