Найти увеличенную в 4 раза сумму корней уравнения (4х+7)²(2х+3)(х+2)=34 .

Для начала раскроем скобки [latex](16x^2+56x+49)(2x^2+7x+6)=34[/latex] Произведем замену. Пусть [latex]2x^2+7x=t[/latex], тогда получаем [latex](8t+49)(t+6)-34=0\\ 8t^2+97t+294-34=0\\ 8t^2+97t+260=0[/latex] [latex]D=b^2-4ac=97^2-4\cdot8\cdot260=1089;\,\,\, \sqrt{D} =33.[/latex] D>0, значит квадратное уравнение имеет 2 действительных корня. [latex]t_1= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-97-33}{2\cdot8} =-8.125;\\ \\ t_2= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-97+33}{2\cdot8} =-4.[/latex] Возвращаемся к замене. 1) [latex]2x^2+7x=-8.125[/latex] или [latex]16x^2+56x+65=0[/latex] [latex]D=56^2-4\cdot16\cdot65=-1024[/latex] Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет. 2) [latex]2x^2+7x=-4[/latex] или [latex]2x^2+7x+4=0[/latex] Найдем сумму корней уравнения, используя теорему Виета. [latex]x_1+x_2= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{2} [/latex] Увеличенная в 4 раза сумма корней: [latex]4\cdot\bigg(-\dfrac{7}{2} \bigg)=-14.[/latex] Ответ: -14.