Найти, в каком отношении ось Ox делит площадь квадрата ABCD, если A(0;-2), B(3;2), C(7;-1), D(4;-5).

Найдём уравнение прямой AB по точкам A(0, –2) и B(3, 2) с помощью канонического уравнения прямой: y = 4x/3 – 2. Тогда прямая AB пересекает ось Ox в точке абсциссы 0 = 4x/3 – 2 ⇔ 6 = 4x ⇔ x = 3/2 и пусть эта точка будет M. Аналогично получаем уравнение прямой BC y = –3x/4 + 17/4, которая пересекает Ox в x = 17/3, назовём эту точку N. Тогда MN = 17/3 – 3/2 = 25/6 как основание прямоугольного треугольника BMN (угол B — прямой). Высота данного треугольника равна абсциссе точки B — 2. Таким образом, площадь треугольника равна 0.5(2)(25/6) = 25/6.  Найдём расстояние (а оно же и сторона квадрата) между точками A и B: AB = √(9 + 16) = 5, здесь же найдём площадь всего квадрата: 5² = 25. Тогда площадь пятиугольника MNCDA равна 25 – 25/6 = 125/6. Наконец, найдём искомое отношение площадей треугольника BMN к пятиугольнику MNCDA: 25/6 : 125/6 = 25 : 125 = 1 : 5. Ответ: 1 : 5.