Найти значение параметра, хотя бы один корень. [latex] a^{2} -10a+ 5\sqrt{ x^{2} +25} =4|x-5a|-8|x|[/latex]

 Перенесем [latex] a^2-10a[/latex] в правую часть , получим  [latex] 4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)[/latex] , впишем функцию [latex] y=4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)[/latex]  Рассмотрим два случая когда [latex]a \geq 0; a\ \textless \ 0[/latex]  Случаи  [latex] a \geq 0[/latex] при этом решения [latex]y=0[/latex] будут            [latex]4|x-5a|-8|x|-(a^2-10a)=0\\ x \geq 0\\ a \geq 0\\\\ [/latex]   Получаем две точки    [latex]-----0-------5a-----\ \textgreater \ \\ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/latex]   То есть получим два решения   [latex] 20a-4x+8x-a^2+10a=0\\ x=\frac{a^2-30a}{4}\\ 20a-4x-8x-(a^2-10a)=0\\ -12x+30a-a^2=0\\ x=\frac{30-a^2}{12}\\\\ [/latex]    Случаи  [latex]a\ \textless \ 0[/latex]  Получаем  так же два случая , и решения его   [latex] x=\frac{a^2+10a}{12}\\ x=\frac{-a^2-10a}{4} [/latex]      То есть график  ломанной прямой проходит через   выше сказанные  точки ,  максимальное значение достигает при     [latex] x=0\\ a\ \textless \ 0 \\ 20a-(a^2-10a) \\\\ a \geq 0 \\ -20a-(a^2-10a) \\ [/latex]      График левой части     [latex] y=5\sqrt{x^2+25}[/latex] , парабола , [latex]x^2 \neq -25\\ f(0)=25[/latex]  , то есть ветви направлены вверх , и минимальное значение  достигается в точке  [latex] x=0; f_{min}=25[/latex]      Значит   нужно решить неравенство    [latex] 1)-20a-(a^2-10a) \geq 25 \\ a\ \textless \ 0\\ -20a-a^2+10a \geq 25\\ -a^2-10a-25 \geq 0 \\ a^2+10a+25 \leq 0\\ a=-5 \ \textless \ 0\\\\ 2)20a-(a^2-10a) \geq 25\\ 20a-a^2+10a-25 \geq 0\\ a^2-30a+25 \leq 0\\ D=900-4*1*25\\ a=15-10\sqrt{2}\\ a=15+10\sqrt{2}[/latex]   То есть ответ [latex] a \in -5 \ \cup [ 15-10 \sqrt{2} ; 15+10\sqrt{2}][/latex]