Небольшой пример. Надеюсь, на лучший ответ

[latex]( \frac{4}{9} )^{x+3}\ \textless \ 1 \\ \\ ( \frac{4}{9} )^{x+3}\ \textless \ ( \frac{4}{9} )^0 \\ \\ x+3\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ -3[/latex] Отрезок в дано: [latex][-6;3][/latex] Мы получили отрезок: [latex](-3;+\infty)[/latex] Объединяем и получаем: [latex](-3;3][/latex] Считаем целочисленные решения неравенства, входящие в промежуток [latex]-2,-1,0,1,2,3[/latex].  Итого: 6 штук. Ответ: [latex]6[/latex]