Объясните, пожалуйста, чем отличается cos²x от cosx²? Разве это не одно и то же? Но судя по примеру в книге сомневаюсь в тождественности.

[latex]y=cos^2x=(cosx)^2=u^2\quad \Rightarrow \quad (u^2)'=2u\cdot u'\; ,\; gde\; u=cosx.\\\\(cos^2x)'=2cosx\cdot (cosx)'=2cosx\cdot (-sinx)=-sin2x\\\\\\y=cosx^2=cos(x^2)=cosu\; ,\; gde\; \; u=x^2\; \; \Rightarrow \; \; (cosu)'=-sinu\cdot u'\\\\(cosx^2)'=-sin(x^2)\cdot (x^2)'=-sin(x^2)\cdot 2x=-2x\cdot sinx^2[/latex] Итак, функция  [latex]y=cos^2x[/latex]  - это степенная функция, в основании степени стоит (cosx), он возводится во 2 степень. Внешняя функция степенная, внутренняя - тригонометрическая. А функция  [latex]y=cosx^2[/latex]  -это тригонометрическая функция  косинус, аргументом которой является степенная функция  [latex]x^2[/latex] . Внешняя функция - тригонометрическая, а внутренняя - степенная.  Как видите - это совершенно разные функции, хотя и скомбинированы из тригонометрической и степенной функций.