Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 8:5, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 20.

Пусть биссектриса ВВ₁ точкой О делится в отношении 8:5, тогда АВ : ВВ₁ = 8:5 = 8х : 5х. Проведем биссектрису СС₁, она также будет проходить через т. О, т.к. биссектрисы треуг. пересекаются в одной точке (центр впис. окр.) Аналогично, CB : CB₁ = 8y : 5y. Получили, что АВ₁ = 5х,  В₁С =  5у. Из условия АС = 20 = 5х + 5у.  Откуда х + у = 20/5 = 4 Тогда Периметр треуг. АВС = АВ + ВС + АС = 8х + 8У + 20 = 8 (х+у) + 20 = 8 *4 + 20 = 32 + 20 + 52