Однородный сосновый брус массой M, раз- меры которого указаны на рисунке 10.11, может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси OO'. В точку A бруса ударяет горизонтально летя- щее ядро массой m. Какова начальная скорость яд...

Данная задача решается довольно просто, поскольку нам уже дано изменение скорости ядра, при котором, по всей видимости (что нужно будет проверить неравенством), теряется механическая энергия. Итак: начальный импульс ядра: m vo ; Начальный момент импульса ядра относительно оси ОО': (L–a) m vo ; Конечный импульс ядра (сразу после удара) по горизонтальной оси равен нулю, а значит, и конечный момент импульса ядра равен нулю. Тогда изменение момента импульса ядра относительно оси ОО' равно его начальному моменту импульса. Всё это изменение момента импульса ядра превратится в момент импульса дощатого бруса. Обозначив угловую скорость и момент инерции дощатого бруса, соответственно, как: ω и J , мы можем записать: Jω = (L–a) m vo ;         [1] Кинетическая энергия дощатого бруса равна Jω²/2 и вся она перейдёт в потенциальную энергию, когда он поднимется, повернувшись на угол φ. Нижняя кромка бруса при повороте на угол φ окажется на Lcosφ ниже оси OO'. Таким образом, нижняя кромка поднимется от начального уровня на величину L(1–cosφ), а поскольку центр масс точно вдвое ближе к оси OO', чем нижняя кромка, то общее поднятие центра масс бруса при его повороте на угол φ составит L(1–cosφ)/2 , а изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести будет равно: MgL(1–cosφ)/2 . Когда вся кинетическая энергия перейдёт в потенциальную, дощатый брус как раз и окажется в своей верхней точке, т.е. в положении максимального отклонения. Итак, учитывая превращение кинетической энергии в потенциальную, мы можем записать: Jω²/2 = MgL(1–cosφ)/2 ; J²ω² = MgJL(1–cosφ) ; Учтём, что J = ML²/3, тогда: J²ω² = M²L³g(1–cosφ)/3 ; Jω = ML√[Lg(1–cosφ)/3] ; Приравняем к этому уравнение [1] и получим: (L–a) m vo = ML√[Lg(1–cosφ)/3] ; vo = [M/m] L/[L–a] √[Lg(1–cosφ)/3] ; vo = M/[m(1–a/L)] √[Lg(1–cosφ)/3] ; Проверим ещё, что кинетическая энергия в системе не возрастает, что было бы абсурдом: vo² = ( M / [m(1–a/L)] )² Lg(1–cosφ)/3 ; Тогда начальная кинетическая энергия равна: Eo = mvo²/2 = ( M / [1–a/L] )² Lg(1–cosφ)/[6m] ; А конечная кинетическая энергия, равная потенциальной, должна быть не больше начальной кинетической: MgL(1–cosφ)/2 < ( M / [1–a/L] )² Lg(1–cosφ)/[6m] ; 1 < M/[3m(1–a/L)²] ; (1–a/L)² < M/[3m] ; 1–a/L < √[M/(3m)] ; ОТВЕТ при выполнении условия 1–a/L < √[M/(3m)] – начальная скорость описанного движения ядра должна была бы быть: vo = M/[m(1–a/L)] √[Lg(1–cosφ)/3] .