Окружность пересекает сторону AB  треугольника ABC  в точках K ,L , сторону BC  — в точках M , N, стоpону AC  — в точках R,S . Известно, что KL=MN=RS=6 ,AB=12 ,BC=16 , угол В=90*. Найдите радиус окружности.

Найдем длины отрезков [latex]BL;MB;AS;AK;CR;CN[/latex] , по теореме о секущей  [latex]BL(BL+6)=BM(BM+6)\\ AK(AK+6)=AS(AS+6)\\ CN(CN+6)=CR(CR+6) [/latex] это же соотношение можно записать в виде  [latex](6-BL)(12-BL)=AS(AS+6)\\ (10-BM)(16-BM)=(12-AS)(20-AS)\\ BL(BL+6)=BM(BM+6)[/latex] Решим систему , сделаем замену для  удобство  [latex]BL=x\\ BM=y\\ AS=z\\ \\ (6-x)(12-x)=z(z+6)\\ (10-y)(16-y)=(12-z)(20-z)\\ x(x+6)=y(y+6)[/latex] [latex]x(x+6)=y(y+6)\\ (6-x)(12-x)=z*(20+z)\\ (10-y)(16-y)=(14-z)(20-z)\\ \\ x^2-y^2=6y-6x\\ -z^2-20z+x^2-18x+72=0\\ (4+y-z)(z+y-30)=0 [/latex] подходит вариант  [latex]z+y=30[/latex] подставляя получаем уравнение  [latex]x^2-y^2=6y-6x\\ -(30-y)^2-20(30-y)+x^2-18x+72=0 \\ \\ [/latex] решая обычным способом получаем решения   [latex]x=y = \frac{737}{31}\\ z=\frac{216}{31}\\ \\ [/latex] Теперь впишем наш треугольник на плоскость [latex] Oxy[/latex] , так что бы угол [latex]90а[/latex] совпадал с началом координат , тогда как показана на рисунку получим  [latex]BL=BM=\frac{737}{31}\\ [/latex] [latex]AS=\frac{216}{31}[/latex]  [latex]M(\frac{737}{31}; 0)\\ L(0; \frac{737}{31})\\ N(\frac{923}{31};0)\\ K(0;\frac{923}{31}) \\ [/latex] пусть центр радиус координаты с точками  [latex]x;y[/latex] то  [latex]x^2+(y-(737/31))^2=x^2+(y-(923/31))^2 \\ y=26\frac{24}{31}\\ x=26\frac{24}{31}\\ R=\sqrt{(26\frac{24}{31})^2+(26\frac{24}{31}-\frac{737}{31})^2}[/latex]