Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D — на второй. При этом АС и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Дано: ω(O1; R1) ω(O2; R2) ω(О1;R1)∩ω(O2;R2) = N AC, BD - общие касательные A∈ω (O1;R1) B∈ω(O1; R1) C∈ω (O2;R2) D∈ω(O2; R2) R1 = 12 R2 = 20 AH⊥CD --------------------- AH - ? Решение: Пусть O1E⊥CO2. Тогда AO1CE - прямоугольник, т.к. ∠O1AC = ∠ACO1 = ∠O1EC = 90°. Тогда AC = O1E - как противоположные стороны прямоугольника. O1O2 = R1 + R2. CE = AO1 - опять же, .к. AO1EC - прямоугольник. Тогда CE = R2 - AO1 = R2 - R1. По теореме Пифагора в ∆O1EC: O1E = √O1O2² - EO2² = √(R1 + R2)² - (R2 - R1)² = √R1² + 2R1R2 + R2² - R2² + 2R1R2 - R1² = √4R1R2 = 2√R1R2. ∠ACH =1/2UCD - как угол между касательной и хордой. ∠O1O2C = UNC = 1/2UCD (т.к. UNC = UND) - как центральный угол. Тогда ∠O1O2C = ∠ACD => sinACD = sinO1O2C. sinO1O2C = O1E/O1O2 = 2√R1R2/(R1 + R2) => sinACD = 2√R1R2/(R1 + R2). sinACD = AH/AC => AH = sinACD•AC = 2√R1R2•2√R1R2/(R1 + R2) = 4R1R2/(R1 + R2) Подставляем значения R1 и R2: AH = 4•12•20/(12 + 20) = 960/32= 30. Ответ: 30.