Основанием прямой трапеции является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол - альфа. Угол между диагональю большей боковой грани и плоскостью равен гамма. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Обозначим призму буквами ABCA1B1C1, где ABC - нижнее основание, A1B1C1 - верхнее основание. Рассмотрим прямоугольный треугольнки ABC. Пусть угол ABC=90 градусов, угол [latex]BCA=\alpha[/latex] Сторона AC=c по условию задачи. Находим стороны AB и BC. [latex]AB=AC*sin\alpha=c*sin\alpha [/latex] [latex]BC=AC*cos\alpha=c*cos\alpha[/latex] Так как AC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, то большая боковая грань призмы - это AA1C1C. По условию угол [latex]C1AC=\gamma[/latex] Рассмотрим треугольник C1AC. Он прямоугольный, так как призма - прямая. Угол C1CA=90 градусов. Находим сторону C1C: [latex]C1C=AC*tg\gamma=c*tg\gamma[/latex] Так как призма прямая, CC1=AA1=BB1 Теперь, когда мы знаем все стороны призмы, можно вычислить площадь поверхности. Площадь поверхности равна сумме площадей сторон призмы. [latex]S=S_A_B_C+S_A_A_1_B_1_B+S_B_B_1_C_1_C+S_A_A_1_C_1_C+S_A_1_B_1_C_1[/latex] [latex]S_A_B_C=S_A_1_B_1_C_1=\frac{1}{2}*AB*BC=\frac{1}{2}*c*sin\alpha*c*cos\alpha=[/latex] [latex]=\frac{c^2}{4}*sin2\alpha[/latex] [latex]S_A_A_1_B_1_B=AA1*AB=c*tg\gamma*c*sin\alpha=c^2*sin\alpha*tg\gamma[/latex] [latex]S_B_B_1_C_1_C=BB1*BC=c*tg\gamma*c*cos\alpha=c^2*cos\alpha*tg\gamma[/latex] [latex]S_A_A_1_C_1_C=AA1*AC=c*tg\gamma*c=c^2*tg\gamma[/latex][latex]S_A_A_1_C_1_C=AA1*AC=c*tg\gamma*c=c^2*tg\gamma[/latex] Площадь поверхности призмы равна: [latex]S=2*\frac{c^2}{4}sin2\alpha+c^2sin\alpha tg\gamma+c^2cos\alpha tg\gamma+c^2tg\gamma=[/latex] [latex]=c^2*(\frac{1}{2}sin2\alpha+sin\alpha tg\gamma+cos\alpha tg\gamma+tg\gamma)[/latex]