Остаток от деления Найдите остаток при делении числа [latex] \frac{ 2^{2007}-2 }{ 2^{2}-1 } + \frac{ 3^{2007}-3}{ 3^{2}-1 }+...+ \frac{ 53^{2007}-53}{ 53^{2}-1 }[/latex] на 1431.

[latex] \frac{2^{2007}-2}{2^2-1} + \frac{3^{2007}-3}{3^2-1} + ...+ \frac{53^{2007}-53}{53^2-1} = \\ 1431=27*53\\\\ [/latex]  вся задача сводится к отдельным суммам разных геометрических прогрессий .[latex] [latex]\frac{2((2^2)^{1003}-1)}{2^2-1} = 2(2+2^3+2^5+2^7+...+2^{2005})+[/latex]+[latex](3+3^3+3^5+3^7+...+3^{2005})...+..(53+53^3+53^5+53^7+...+53^{2005})[/latex]итд    теперь заметим что сумма чисел равных степеней  при делений на [latex]1431[/latex] дают один и тот же остаток равный [latex] 1430[/latex] [latex]2+3+4+5+6+...+53=1430 [/latex] остаток равен [latex]1430[/latex] так ка   [latex] 1430<1430[/latex] [latex]2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ n=53\\\\ 2^3+3^3+4^3+5^3+...+n^3=[/latex] и каждый раз оно будет отличатся на множитель  то есть получим что остаток равен   [latex]1430*2005 [/latex]