Остаток сумм Пусть [latex] a_{n} [/latex] – остаток от деления [latex] (n+1)^{3} [/latex] на [latex] n^{3} [/latex]. Найдите остаток при делении числа [latex] a_{1} + a_{2} + ... + a_{4002} [/latex] на 4000.

   [latex]\frac{(n+1)^3}{n^3}=1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}\\ a_{1}=\frac{2^3}{1}=1+\frac{3}{1}+\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1}\\ a_{2}=\frac{3^3}{2^3}=1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{1}{2^3}\\ a_{3}=\frac{4^3}{3^3}=1+\frac{3}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}\\ a_{4}=\frac{5^3}{4^3}=1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{1}{4^3}\\ ...\\ a_{4002}=1+\frac{3}{4002}+\frac{3}{4002^2}+\frac{1}{4002^3} \\\\ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{4002}}{4000}=\\ \frac{2+3(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}..+..\frac{1}{4002})..}{4000} [/latex]  так как [latex]1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+...\frac{1}{4002}<10[/latex] это оценка позволяет осознать то что  [latex]10<4000[/latex], так же с    так ка [latex]\frac{1}{n}>\frac{1}{n^2}[/latex] то   следующая сумма дробкей так же меньше [latex]S<10[/latex]  [latex] \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}...+...\frac{1}{4002^3}[/latex]    то есть остаток равен   [latex]2+3(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+...\frac{1}{4002})[/latex] +  [latex]3(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}...+...\frac{1}{4002^2})[/latex]+  [latex]\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}...+...\frac{1}{4002^3}[/latex]