Парабола [latex]y = x^2 +px +q[/latex] касается прямых [latex]y = 5x +1[/latex] и [latex]y = -x-2[/latex]. Найдите p и q.

парабола и ее производная у=x^2+px+q y`=2x+p ******** прямая 1 и ее производная y=5x+1 y`=5 ******** x1;y1 - точка касания прямой 1 и параболы 2*x1+p=5 y1=5*x1+1 у1=x1^2+p*x1+q ******** прямая 2 и ее производная y=-x-2 y`=-1 ******** x2;y2 - точка касания прямой 2 и параболы 2*x2+p=-1 y2=-x2-2 у2=x2^2+p*x2+q ***************** собираем в систему 6 уравнений 2*x1+p=5 y1=5*x1+1 у1=x1^2+p*x1+q 2*x2+p=-1 y2=-x2-2 у2=x2^2+p*x2+q ***************** так как y1 и y2 нас не интересуют - исключаем их 2*x1+p=5 5*x1+1=x1^2+p*x1+q 2*x2+p=-1 -x2-2=x2^2+p*x2+q ***************** так как x1 и x2 нас не интересуют - исключаем их x1=(5-p)/2 x1^2+(p-5)*x1+q-1=0 x2=(-1-p)/2 x2^2+(p+1)*x2+q+2=0 ***************** ((5-p)/2)^2+(p-5)*(5-p)/2+q-1=0 ((-1-p)/2)^2+(p+1)*(-1-p)/2+q+2=0 ***************** q-1=(p-5)^2/4 q+2=(p+1)^2/4 ***************** q=(p-5)^2/4+1 q=(p+1)^2/4-2 ***************** q=(p-5)^2/4+1 (p-5)^2/4+1=(p+1)^2/4-2 ***************** q=(p-5)^2/4+1 (p-5)^2+12=(p+1)^2 ***************** q=(p-5)^2/4+1 p^2-10p+25+12=p^2+2p+1 ***************** q=(p-5)^2/4+1 36=12p ***************** p=3 q=(3-5)^2/4+1=1 ***************** p=3 q=1