Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: x^2 + y^2 = 2x, x^2 + y^2 = 4x, y = x, y = 0 .

1) Строим фигуру. [latex] x^{2}+y^2=2x[/latex] [latex]x^2-2x+1+y^2=1[/latex] [latex](x-1)^2+(y-0)^2=1 [/latex] Первое уравнение даёт нам окружность с центром в точке [1,0] и единичным радиусом. Второе даёт нам вторую окружность, по аналогии с первым. Третья функция строится поточечно. Взяв любое значение x, получаем y и проводим прямую. Четвёртая прямая при любом x, даёт y=0. Площадь фигуры рассчитывается по формуле [latex]S= \int\limits \int\limits{dx} \, dy [/latex] При переходе к полярным координатам не забываем dxdy=rdrdφ x=rcosφ y=rsinφ Берём первое уравнение [latex]x^2+y^2-2x=0[/latex] и осуществляем преобразование (rcosφ)²+(rsinφ)²-2(rcosφ)=0 Вспоминаем тригонометрическое тождество cosφ²+sinφ²=1 и применяем: r²-2rcosφ=0 r-2cosφ=0 Ровно по такой же схеме преобразуем x²+y²=4x в r=4cosφ Прямая y=x даёт нам изменение угла от 0 до π/4 в полярной системе координат, r же меняется от малой окружности до большей. [latex] \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {} \, d \phi \int\limits^{4cos \phi}_{2cos\phi} {r} \, dr = \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {6cos^{2}\phi } \, d \phi =6 \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {( \frac{1}{2}cos(2\phi)+ \frac{1}{2} )} \, d \phi= \frac{3(2+ \pi )}{4}[/latex]