.Периметр прямоугольника ABCD равен 54. Точка M - середина стороны CD. Прямые AM и BM перпендикулярны. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна АВ=а, а ширина(меньшая сторона) ВС=в, тогда периметр Р = 2(а + в) = 54 а + в = 27 а = 27 - в                     (1) В прямоугольном треугольнике, образованном большей стороной прямоугольника АВ=а и двумя одинаковыми катетами АМ = ВМ = с а² = 2с² с² = 0,5а²                       (2) В другом прямоугольном тр-ке АМД, образованном гипотенузой АМ = с и катетами АД = в и МД = 0,5а с² = в² + (0,5а)²                (3) Приравняем правые части  (2) и (3) 0,5а²= в² + (0,5а)² в² = 0,5а² - 0,25а² в² = 0,25а² в = 0,5а а = 2в                            (4) Приравняем правые части  (1) и (4) 27 - в= 2в 3в = 27 в = 9 Ответ: меньшая сторона прямоугольника равна 9см