Периметр треугольника равен 36. докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из его вершин равен больше 6.

Рассмотрим треугольник АВС и произвольную точку М. Пусть МВ<6 и МС<6. Докажем, что АМ >6. При доказательстве используем неравенство треугольника. В треуг. МВС: ВС<МВ+МС<6+6=12 В треуг. АВС: АВ+АС=Р-ВС=36-ВС>36-12=24 В треуг. АМВ: АМ>АВ-МВ В треуг. АМС: АМ>АС-МС Складываем последние два неравенства. 2АМ>(АВ+АС) - (МВ+МС)*. из вышенаписанного:(АВ+АС)>24,(MB+MC<12) и получаем AM>12-6=6 (мы поделили неравенство* на 2)