Первый, второй и пятый члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к первым двум членам этой геометрической прогресии прибавить по 1, а от третьего отнять 3, то получатся ...

Пусть первый, второй и пятый члены исходной арифметической прогрессии а1 = х а2 = x + d а5 = x + 4d Они же   -  это  первые три члена геометрической прогрессии: b1 = x,  b2 = x + d,    b2 = x + 4d, значит [latex] \frac{x + d}{x} = \frac{x + 4d}{x + d} \\ (x + d)^{2} = x(x + 4d) \\ x^{2} + 2xd + d^{2} = x^{2} +4xd \\ d^{2} = 2xd \\ d = 2x[/latex]   [latex]x = \frac{d}{2} [/latex] Из них получаем первые три члена другой арифметической прогрессии: с1 = b1+1  = x +1,   с2 = b2+1 = x + d +1,     с3 = b2 - 3 = x + 4d - 3   Тогда  [latex](x + d +1) - (x +1) = (x + 4d - 3) - (x + d +1) \\ x + d +1 - x - 1 = x + 4d - 3 - x - d - 1 \\ d = 3d - 4 \\ 2d = 4 \\ d = 2[/latex] Значит  а1 = х = d/2 = 2/2 = 1. Тогда сумма первых ста членов исходной арифметической прогрессии равна: [latex]S_{100} = \frac{2 a_{1}+99d }{2} *100 = \frac{2 *1+99*2 }{2} *100 = (1+99)*100 = \\ = 100*100 = 10000[/latex] Ответ:  10000.