Площадь прямоугольника ABCD равна 20. Точка M, N, P, Q - середины его сторон. Найдите площадь четырехугольника, заключенного между прямыми AN, BP, CQ, DM.

Sавсд=20, стороны АВ=СД=а, ВС=АД=b Полученный четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, обозначим ЕНОТ (это точки пересечения указанных прямых). Рассмотрим четырехугольник МВРД: стороны МВIIРД (противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны) и МВ=РД (по условию это половины противолежащих сторон). Следовательно ВРIIМД и ВР=МД, а четырехугольник МВРД является параллелограммом. Аналогично четырехугольник АNCQ - параллелограмм (по условию NCIIAQ, NC=AQ, значит ANIICQ, AN=CQ) Получается, что и четырехугольник ЕНОТ - параллелограмм. Найдем площадь параллелограмма Sмврд :  Sмврд= Sавсд - 2Sамд=АВ*АД-2* (АМ*АД/2)=аb-(а/2*b)=ab/2 =Sавсд/2=20/2=10 Рассмотрим ΔАМД: его стороны пересекаются параллельными прямыми  AN и CQ, которые отсекают на стороне АД равные отрезки AQ=QД, а значит и на стороне МД - равные отрезки ЕТ=ТД (по теореме Фалеса) Тоже самое и в ΔВСР: BN=NC, BH=HO, а также ВН=НО=ЕТ=ТД. Рассмотрим ΔАВН: в нем МЕ||ВН, АМ=МВ, значит МЕ- средняя линия этого треугольника МЕ=ВН/2=ЕТ/2. Сторона МД=МЕ+ЕТ+ТД=ЕТ/2+ЕТ+ЕТ=5ЕТ/2. ЕТ=2МД/5 Площадь ЕНОТ равна Sенот=h*ЕТ=h*2МД/5. Высота h четырехугольника ЕНОТ равна высоте четырехугольника МВРД. Исходя из Sмврд=h*МД, h=Sмврд/МД=10/МД. Получается, Sенот=10/МД*2МД/5=4. Ответ:4