Площадь треугольника ABC=24см.На стороне ABобозначили точки D и F так что, AD=BF=1/4AB, а на стророне BC точки P,M так что CM=BP=1/4BC.Найти площадь четырехугольника DFPM

Раз AD и FB = 1/4AB, то DF = 2/4AB Аналогично PM = 2/4BC Можно сказать что BF : FD : AD = 1 : 2 : 1 и BP : PM : CM = 1 : 2 : 1 Так как отношения одинаковы по расширенной теореме Фолеса можно заявить, что: FP ║ AC DM ║ AC А из последних двух строчек сказать, что FP ║ DM. ΔBFP подобен ΔBDM подобен ΔBAC (по двум углам: ∠В - общий, ∠BFP = ∠BDM = ∠BAC как накрест лежащие при параллельных прямых FP, DM и AC и секущей AB) Выясним коэффициент подобия. BF = 1/4AB, BD = 3/4AB, AB = 4/4AB BF : BD : AB = 1/4AB : 3/4AB : 4/4AB = 1 : 3 : 4 Проведём высоту BH. Пусть пересечение BH и FP - точка E. Пересечение BH и DM - точка K. Из подобия треугольников утверждаем, что BE : BK : BH = 1 : 3 : 4 и FP : DK : AC = 1 : 3 : 4 FP : DK : AC = 1 : 3 : 4 BE : BK : BH = 1 : 3 : 4 Обозначим FP = x, тогда DK = 3x, AC = 4x Обозначим BE = y, тогда BK = 3y, BH = 4y SΔ = 1/2 * сторона * высоту SΔBFP = 1/2*x*y = xy/2 SΔBDK = 1/2*3x*3y = 9xy/2 SΔBAC = 1/2*4x*4y = 16xy/2 SΔBFP : SΔBDK : SΔBAC = xy/2 : 9xy/2 : 16xy/2 = 1 : 9 : 16 Можно не выводить это отношение, а просто сказать, что отношение площадей - это квадрат коэффициента подобия: 1² : 3² : 4² = 1 : 9 : 16 SΔBFP = t SΔBDK = k SΔBAC = 24 см² Cоставим пропорцию: 1/t = 9/k = 16/24 = 2/3 9/k = 2/3 ⇒ k = 3*9/2 = 27/2 = 13.5 см² 1/t = 2/3 ⇒ t = 3*1/2 = 3/2 = 1.5 см² SDFPM = SΔDBK - SΔBFP = k - t = 13.5 - 1.5 = 12 см² Ответ: 12 см²