Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.   Площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник S=(a²√3):4 Площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды. Каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме. S=ah:2 Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему. Угол АSC- прямой. Треугольник ASC - прямоугольный равнобедренный. Апофема грани пирамиды  - высота и медиана этого треугольника. Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. Высота SM равна половине АС и равна а:2 Площадь треугольника АSС=(а*а:2):2=а²:4 Площадь боковой поверхности равна 3а²:4 Отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания Sбок:S ᐃ АВС=(3а²:4):{(a²√3):4}=√3

Итак, площадь основания - это площадь равностороннего треугольника.По формуле Sосн = √3*а²/4 Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника - боковая грань пирамиды (катеты равны) = 1/2a*h, где h=1/2а (так как в этом треугольнике высота = половине основания, поскольку углы при основании = 45°) Sбок1 = (1/2а)*(1/2а) = а²/4. Таких поверхностей в пирамиде3. Значит Sбок = 3а²/4 Отношение боковой поверхности к площади основания (3а²/4):(√3а²/4) = 3/√3 = √3.