По кругу стоят 17 ненулевых чисел. Оказалось, что сумма любых двух соседних чисел положительна. Какое наибольшее количество чисел могут быть отрицательны?

8 отрицательных чисел расположить можно, например 2,-1,2,-1,2,-1,2,-1,2,-1,2,-1,2,-1,2,-1,2. Если бы на круге было n≥9 отрицательных чисел, то количество мест между ними тоже n, и  на каждом этом месте обязано быть хотя бы одно положительное число (иначе сумма соседних будет отрицательна), значит положительных чисел тоже ≥9, т.е. всех чисел ≥18 - противоречие.