Под корнем стоит выражения:0,(4), и представить ответ тоже в периодической дроби  

Придется вспоминить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 0,(4)=0,44444444....=0,4+0,04+0,004+0,0004+.... Здесь бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом равным 0,4, а знаменатель ее равен q=0,04:0,4=0,1 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна [latex]S=\frac{0,4}{1-0,1}=\frac{0,4}{0,9}=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2[/latex] Теперь извлечь корень можно легко [latex]\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{2}{3}=0,(6)[/latex] Ответ: 0,(6)