Помогіте Доведіть (а+2)(b+6)(c+3) больше 48√abc

Докажем сначала неравенство: [latex] \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} [/latex] - выполняется, если [latex]x \geq 0[/latex] и [latex]y \geq 0[/latex] [latex]x+y \geq 2 \sqrt{xy} [/latex] при указанных условиях на x и у: [latex]( \sqrt{x})^2+( \sqrt{y} )^2 \geq 2 \sqrt{xy} [/latex] [latex]( \sqrt{x})^2+2 \sqrt{xy} +( \sqrt{y} )^2 \geq 0[/latex] [latex]( \sqrt{x})^2+2* (\sqrt{x})*( \sqrt{y} ) +( \sqrt{y} )^2 \geq 0[/latex] [latex]( \sqrt{x} - \sqrt{y} )^2 \geq 0[/latex] получили правдивое неравенство путем эквивалентных переходов, значит и исходное было правдивым используем в нашем неравенстве доказанное: [latex]a+2 \geq 2 \sqrt{a*2} [/latex] [latex]b+6 \geq 2 \sqrt{a*6} [/latex] [latex]c+3 \geq 2 \sqrt{c*3} [/latex] т.е. [latex](a+2)(b+6)(c+3) \geq 2 \sqrt{2a}* 2\sqrt{6a}* 2\sqrt{3c} =8* \sqrt{2*6*3*abc}= [/latex] [latex]=8* \sqrt{6^2*abc}= 8*6 \sqrt{abc}= 48 \sqrt{abc} [/latex] Что и требовалось доказать. Отметим, что равенство будет достигаться в случае когда выполняется условие: [latex]a=2[/latex] и [latex]b=6[/latex] и [latex]c=3[/latex]