Помогите! Ну оооочень нужно![latex] \frac{1}{1+ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{4} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{80}+ \sqrt{81} } [/latex]

Для начало упростим  , то есть освободимся от иррациональности в знаменателе  [latex]\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\\ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}=\sqrt{4}-\sqrt{3}[/latex] ..... Теперь просуммируем  [latex](\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+....(\sqrt{81}-\sqrt{80})[/latex] очевидно что серединные члены вычтуться между собой и останутся в конце    [latex]-1+\sqrt{81}=-1+9=8[/latex] Ответ 8