Помогите пожалуйста! докажите, что при любом натуральном значении n выполняет равенство:                                      1^2+2^2+3^2+........n^2= n(n+1)(2n+1)                                     ----------------           ...

Доказательство методом математической индукции База индукции. При n=1 утверждение справедливо. Действительно [latex]1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/latex] Гипотеза индукции. Пусть утверждение выполняется для некоторого натурального n=k, т.е. верно равенство [latex]1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}[/latex] Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение справедливо при n=k+1, т.е. что справедливо равенство [latex]1^2+2^2+3^2+..+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}[/latex] или переписав правую сторону равенства, предварительно упростив [latex]1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/latex] [latex]1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=[/latex] используем гипотезу [latex]\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\\\\(k+1)(\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1)}=\\\\(k+1)(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k^2+4k+3k+6)}{6}=\\\\\frac{(k+1)((2k^2+4k)+(3k+6))}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2)}{6}=\\\\\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/latex] Согласно принципу математической индукции данное утверждение справедливо для любого натурального n. Доказано