Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение xy` (lny – lnx) = y
Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение
xy` (lny – lnx) = y
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
[latex]xy' (\ln y - \ln x) = y[/latex]
Применяем свойство логарифма:
[latex]xy' \ln \dfrac{y}{x} = y[/latex]
Далее преобразуем:
[latex]y' \ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{y}{x} [/latex]
Получаем однородное диф. уравнение.
Замена:
[latex] \dfrac{y}{x} =t \\\ \Rightarrow y=tx; \ y'=t'x+tx'=t'x+t[/latex]
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
[latex](t'x+t)\ln t=t \\\ t'x+t= \dfrac{t}{\ln t} \\\ t'x= \dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{xdt}{dx} =\dfrac{t}{\ln t} -t \\\ \dfrac{dt}{\dfrac{t}{\ln t} -t} = \dfrac{dx}{x} [/latex]
Интегрируем левую часть отдельно:
[latex] \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t}{\ln t} -t} dt= \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t-t\ln t}{\ln t} } dt= \int\limits \dfrac{\ln t}{t-t\ln t }dt = \int\limits \dfrac{\ln t}{t(1-\ln t) }dt [/latex]
Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла:
[latex] \int\limits \dfrac{\ln t-1+1}{t(1-\ln t) }dt = \int\limits \dfrac{\ln t-1}{t(1-\ln t) }dt + \int\limits \dfrac{1}{t(1-\ln t) }dt [/latex]
Выполняем подведение под знак дифференциала:
[latex]- \int\limits \dfrac{1}{t }dt + \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(\ln t) = - \int\limits \dfrac{1}{t }dt - \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(1-\ln t) = \\\ =- \ln |t| - \ln|1-\ln t|[/latex]
После интегрирования получим:
[latex]- \ln |t| - \ln|1-\ln t|=\ln|x|+\ln|C| \\\ - \ln |t(1-\ln t)|=\ln|Cx| \\\ \ln |(t(1-\ln t))^{-1}|=\ln|Cx| \\\ (t(1-\ln t))^{-1}=Cx \\\ \dfrac{1}{t(1-\ln t)} =Cx[/latex]
Обратная замена:
[latex] \dfrac{1}{ \dfrac{y}{x} (1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx \\\ \dfrac{x}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx[/latex]
На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.
[latex] \dfrac{1}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =C \\\ Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1[/latex]
Ответ: [latex]Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1[/latex] - общий интеграл уравнения
Не нашли ответ?
Похожие вопросы