Помогите пожалуйста решить мат. анализ. Очень нужна ваша помощь

[latex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{(2n-1)!} [/latex] По признаку Даламбера: [latex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{(2n+1)!} \cdot \frac{(2n-1)!}{5n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)}{(2n+1)\cdot 5n^2} =0\ \textless \ 1[/latex] Данный ряд сходится. [latex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^2+3} [/latex] [latex]\bigg| \dfrac{n}{n^2+3} \bigg| \sim \dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n} [/latex] Как видно, ряд [latex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} [/latex] - гармонический, то есть ряд расходится, то по признаку сравнения данный ряд расходится. [latex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1} [/latex] По признаку Лейбница: [latex] \dfrac{1}{n^2+1} \to_{n \to\infty } 0[/latex] - монотонна убыв. Ряд сходится условно. [latex]\displaystyle \frac{1+2}{6} + \frac{1^2+2^2}{6^2}+ \frac{1^3+2^3}{6^3}+...=\displaystyle \frac{1+2}{6} + \frac{1^2+2^2}{6^2}+ \frac{1^3+2^3}{6^3}+...+ \frac{1^n+2^n}{6^n} [/latex] [latex]S_n= \dfrac{1^n+2^n}{6^n} [/latex] Разобьем сумму на 2 слагаемые [latex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^n}{6^n} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6^n} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \,\,\boxed{=}[/latex] Не сложно заметить, что каждая сумма - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то есть Для первого: [latex]b_1= \dfrac{1}{6} ;\,\,\,\, q= \dfrac{1}{6} [/latex] Для второго: [latex]b_1= \dfrac{1}{3} ;\,\,\,\,\, q= \dfrac{1}{3} [/latex] Тогда непосредственно можем вычислить сумму ряда [latex]\displaystyle \boxed{=}\,\, \frac{b_1}{1-q} + \frac{b_1}{1-q}= \frac{ \frac{1}{6} }{1- \frac{1}{6} } + \frac{ \frac{1}{3} }{1- \frac{1}{3} } = \frac{1}{6-1}+ \frac{1}{3-1} = \frac{7}{10} [/latex] Сумма ряда: [latex]S=\dfrac{7}{10} [/latex]