Помогите пожалуйста с интервалом монотонности функции. Решение уже начал , но правильно ли ? Что дальше делать , если правильно. Если решать через дискриминант 3x^2+1=0 , то Д меньше 0 , а значит корней нет. И что делать?

Начиная с третьей строчки, в вашем предполагаемом решении содержится ошибка, вы некорректно привели всё к общему знаменателю. Так что продолжим, начиная с ещё правильной второй строки вашего рассуждения. Но! Следует сделать важно замечание, которое имеет очень серьёзные последствия для всего решения. Область определения заданной функции вовсе не вся числовая ось, а только положительные числа, поскольку на отрицательных числах функция логарифма в действительных числах не определена. Итак [latex] D( f(x) ) \equiv ( 0 ; +\infty ) [/latex] ; Далее, продолжаем ваше решение: [latex] f'_x (x) = 3x^2 + \frac{1}{x} [/latex] ; [latex] f'_x (x) = 0 [/latex] ; [latex] \frac{ 3x^3 + 1 }{x} = 0 [/latex] ; [latex] x \neq 0 [/latex] ; [latex] 3x^3 + 1 = 0 [/latex] ; [latex] 3x^3 = -1 [/latex] ; [latex] x^3 = -\frac{1}{3} [/latex] ; [latex] x = -\frac{1}{ \sqrt[3]{3} } [/latex] ; Или сразу можно записать в интервальном виде: [latex] 3x^3 + 1 = ( x + \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } ) ( x^2 - \frac{x}{ \sqrt[3]{3} } + \frac{1}{ \sqrt[3]{9} } ) [/latex] ; [latex] f'_x (x) = ( 1 + \frac{1}{ x \sqrt[3]{3} } ) ( x^2 - \frac{x}{ \sqrt[3]{3} } + \frac{1}{ \sqrt[3]{9} } ) [/latex] ; Причём, что следует и из предыдущего решения: [latex] D = \frac{1}{ \sqrt[3]{9} } - \frac{4}{ \sqrt[3]{9} } < 0 , [/latex] а значит, других корней нет. А поэтому, на области определения, т.е. при [latex] x>0 [/latex] заданная функция всегда имеет положительную производную, а значит, всегда монотонно возрастает. О т в е т : интервал монотонного возрастания функции [latex] f(x) = x^3 + \ln{x} [/latex] – это [latex] ( 0 ; +\infty ) . [/latex] *** В дополнение о том, о чём автор не спрашивал. У данной функции есть два интервала разнонаправленного кручения (что видно и из графика). От ноля до некоторого значения она закручивается по часовой стрелки, а после некоторого числа – против. Для нахождения этой точки (точки перегиба) можно решить как уравнение относительно ноля, вторую производную заданной функции. [latex] f''_x (x) = ( 3x^2 + \frac{1}{x} )'_x = 6x - \frac{1}{x^2} = \frac{ 6x^3 - 1 }{x^2} [/latex] ; [latex] x \neq 0 [/latex] ; [latex] 6x^3 - 1 = 0 [/latex] ; [latex] 6x^3 = 1 [/latex] ; [latex] x^3 = \frac{1}{6} [/latex] ; [latex] x = \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } \approx 0.550 [/latex] ; Это и есть абсцисса точки перегиба. Чтобы найти ординату точки перегиба, подставим это значение в исходную функцию: [latex] f( x=\frac{1}{ \sqrt[3]{6} } ) = ( \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } } )^3 + \ln{ \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } } = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} \ln{6} = \frac{ 1 - 2 \ln{6} }{6} \approx -0.431 [/latex] ; Поскольку это единственный корень, то, с учётом общей алгебраической положительности второй производной, она положительна после него и отрицательна до. Таким образом, на [latex] x \in ( 0 ; \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } ) [/latex] и [latex] y \in ( -\infty ; \frac{ 1 - 2 \ln{6} }{6} ) [/latex] – вторая производная отрицательна, т.е. график функции выпуклый, а кручение графика происходит по часовой стрелки. На [latex] x \in ( \frac{1}{ \sqrt[3]{6} } ; +\infty ) [/latex] и [latex] y \in ( \frac{ 1 - 2 \ln{6} }{6} ; +\infty ) [/latex] – вторая производная положительна, т.е. график функции вогнутый, а кручение графика происходит против часовой стрелки.