Помогите пожалуйста, с пояснением если можете плз

[latex]1)\; \; \int _0^4 \frac{dx}{1+\sqrt{2x+1}} =[\; t^2=2x+1\; ,\; t=\sqrt{2x+1}\; ,\; x=\frac{1}{2}(t^2-1)\; ,\\\\dx=t\, dt\; ,\; \; t_1=1\; ,\; t_2=3\; ]=\int _1^3\frac{t\, dt}{1+t}=\int _1^3(1-\frac{1}{1+t})dt=\\\\=(t-ln|1+t|)|_1^3=3-ln4-(1-ln2)=2+ln2-ln4=\\\\=2+ln\frac{2}{4}=2+ln\frac{1}{2}=2+ln2^{-1}=2-ln2\; ;[/latex] [latex]2)\; \; \int\limits^1_0 \frac{x^2\cdot dx }{\sqrt{4-x^2}}=[\; x=2sint\; ,\; dx=2cost\, dt\; ,\; 4-x^2=4-4sin^2t=\\\\=4(1-sin^2t)=4cos^2t\; ,\; sint=\frac{x}{2}\; ,\; t=arcsin\frac{x}{2}\; ,\\\\t_1=0,\; t_2=arcsin\frac{1}{2}= \frac{\pi}{6}\; ]=\int\limits _0^{\frac{\pi}{6}} \frac{4sin^2t\cdot 2cost\, dt}{\sqrt{4cos^2t}} = \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0 \frac{4sin^2t\cdot 2cost\, dt}{2cost} =\\\\=4\cdot \int \limits _0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{2}\, (1-cos2t)dt=2\cdot (t-\frac{1}{2}sin2t)|_0^{\frac{\pi}{6}}=[/latex] [latex]=2\cdot (\frac{\pi}{6}- \frac{1}{2} \cdot sin\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2} \\\\3)\; \; \int\limits^1_0 \frac{dx}{e^{x}+1}=[\; t=e^{x}+1\; ,\; e^{x}=t-1\; ,\; x=ln(t-1)\; ,\; dx=\frac{dt}{t-1}\; ,\\\\t_1=e^0+1=1+1=2\; ,\; t_2=e+1\; ]= \int\limits^{e+1}_2 \frac{dt}{t\cdot (t-1)}=\\\\= \int\limits^{e+1}_2 \Big (\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}\Big )dt= \Big (ln|t-1|-ln|t|\Big )|_2^{e+1}=\\\\=lne-ln(e+1)-\Big (ln1-ln2\Big )=ln\frac{e}{e+1}-0+ln2=\\\\=ln \frac{2e}{e+1} \; ;[/latex] [latex]4)\; \; \int\limits^{\frac{a}{2}}_0\sqrt{ \frac{x}{a-x} }dx=[\; t^2= \frac{x}{a-x} \; ,\; t^2(a-x)=x\; ,\; t^2a-t^2x=x\; ,\\\\t^2a=t^2x+x\; ,\; t^2a=x(t^2+1)\; \to \; x= \frac{t^2a}{t^2+1} \; ,\\\\dx= \frac{2at(t^2+1)-t^2a\cdot 2t}{(t^2+1)^2} dt= \frac{2at\, dt}{(t^2+1)^2} \; ,\; t_1=0\; ,\; t_2=1\; ]=\\\\=\int\limits^1_0 \frac{2a\cdot t^2\, dt}{(t^2+1)^2} =2a \int\limits^1_0 \frac{t\cdot t\cdot dt}{(t^2+1)^2} =[\; u=t\; ,\; du=dt\; ,\; dv=\frac{t\cdot dt}{(t^2+1)^2}\; ,[/latex] [latex]v=\frac{1}{2}\int \frac{2t\cdot dt}{(t^2+1)^2} =\frac{1}{2}\int \frac{dz}{z^2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{z^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2(t^2+1)} \; ;\; \int u\, dv=uv-\int v\, du\; ]=\\\\=2a\cdot \Big ( -\frac{t}{2(t^2+1)} |_0^1+ \frac{1}{2}\cdot \int\limits^1_0 \frac{dt}{(t^2+1)} \Big )=2a\cdot \Big (-\frac{1}{4}+ \frac{1}{2} \cdot arctgt|_0^1\Big )=\\\\=- \frac{2a}{4}+ \frac{2a}{2} \cdot (arctg1-arctg0)=- \frac{a}{2} +a\cdot (\frac{\pi}{4}-0)=\frac{a\pi}{4}-\frac{a}{2}= \frac{a(\pi -2)}{4}\; ;[/latex]