ПОМОГИТЕ С ПРЕДЕЛАМИ,ПОЖАЛУЙСТА! 1)[latex] \lim_{x \to -1} \frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =[/latex] 2)[latex] \lim_{x \to \pi +0} \frac{ \sqrt{1-cosx} }{ sinx} =[/latex] 3)[latex] \lim_{x \to \infty}( \frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^...

1. [latex]\lim\limits_{x \to -1} \frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =\lim\limits_{x \to -1} \frac{ (x-2)(x+1)}{ (x +1)(x^2-x+1)} =\lim\limits_{x \to -1} \frac{ x-2}{ x^2-x+1} =\frac{ -1-2}{ (-1)^2-(-1)+1}=-1[/latex] Так как изначально возникает неопределенность [0/0], то необходимо сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя (х+1) 2. [latex] \lim\limits_{x \to \pi +0} \frac{ \sqrt{1-\cos x} }{ \sin x} =\frac{ \sqrt{1-\cos (\pi+0) } }{ \sin (\pi+0) } =\frac{ \sqrt{1-(-1) } }{ -0} =\frac{ \sqrt{2} }{ -0} =-\infty[/latex] Так как предел находится при приближении к числу π справа, то синус прежде чем принять значение 0 в точке π будет отрицательным и находиться в третьей четверти 3. [latex] \lim\limits_{x \to \infty}( \frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ \frac{1}{x} }} )= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{5x^2}{1- x^{2} } - \lim\limits_{x \to \infty} 2^{ \frac{1}{x} }} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{ \frac{5x^2}{x^2} }{ \frac{1}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} } -2^{ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} }} = \\\ =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 5 }{ \frac{1}{x^2} - 1 } -2^0 =\frac{ 5 }{ - 1 } -1 =-5-1=-6[/latex] Предел разности равен разности пределов, чтобы избавиться от неопределенности [∞/∞] необходимо числитель и знаменатель разделить на старшую степень, в данном случае х² 4. 1 способ [latex]\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ 49-x^2} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (7-x)(7+x)} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (4-(x-3))(x+7)} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (2- \sqrt{x-3})(2+ \sqrt{x-3}) (x+7)} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{1 }{ (2+ \sqrt{x-3}) (x+7)} = - \frac{1 }{ (2+ \sqrt{7-3}) \cdot(7+7)} = - \frac{1 }{ 4 \cdot14} =- \frac{1}{56} [/latex] 2 способ [latex] \lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = \lim\limits_{x \to 7} \frac{(2- \sqrt{x-3})' }{( x^{2} -49)'} = \lim\limits_{x \to 7} \frac{0- \frac{1}{2\sqrt{x-3}} }{2x} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{1 }{4x\sqrt{x-3}} =-\frac{1 }{4\cdot7\sqrt{7-3}} =- \frac{1}{56} [/latex] Правило Лопиталя: предел отношения двух функция равен пределу отношения производных этих функций

1) числитель и знаменатель разложим на множители. Числитель: [latex]x^2-x-2=(x-x_1)(x-x_2)[/latex] [latex]x_1=2;\ x_2=-1[/latex] По теореме Виета [latex]x^2-x-2=(x-2)(x+1)[/latex] Знаменатель: [latex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/latex] [latex]lim_{x\to-1}\frac{x^2-x-2}{x^3+1}=lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x^2-x+1)}=lim_{x\to-1}\frac{x-2}{x^2-x+1}=\frac{-1-2}{1+1+1}=-1[/latex] 3) [latex]lim_{x\to\infty}(\frac{5x^2}{1-x^2}-2^\frac{1}{x})=lim_{x\to\infty}(\frac{5x^2}{x^2(\frac{1}{x^2}-1)}-2^\frac{1}{x})=\\=lim_{x\to\infty}(\frac{5}{\frac{1}{x^2}-1}-2^\frac{1}{x})=\frac{5}{0-1}-2^0=-5-1=-6[/latex] 4) [latex]lim_{x\to7}\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=lim_{x\to7}\frac{2-\sqrt{x-3}}{(x-7)(x+7)}=lim_{x\to7}\frac{(2-\sqrt{x-3})(2+\sqrt{x-3})}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\\=lim_{x\to7}\frac{2^2-(\sqrt{x-3})^2}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=lim_{x\to7}\frac{4-x+3}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\\=lim_{x\to7}\frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-lim_{x\to7}\frac{1}{(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-\frac{1}{14*4}=-\frac{1}{56}[/latex] 2) [latex]lim_{x\to\pi+0}\frac{\sqrt{1+cosx}}{sinx}=[1+cosx=2cos^2\frac{x}{2};sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}]=\\=lim_{x\to\pi+0}\frac{\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=lim_{x\to\pi+0}\frac{\sqrt{2}|cos\frac{x}{2}|}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=[/latex] Стремясь к пи справа(от +беск.) cos будет принимать отрицательные значения и находиться в 3 четверти, поэтому модуль раскрываем с минусом =[latex]lim_{x\to\pi+0}\frac{-\sqrt{2}cos\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=lim_{x\to\pi+0}\frac{-\sqrt{2}}{2sin\frac{x}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2*sin\frac{\pi}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]