ПОМОГИТЕ УМОЛЯЮ Докажите, что n^3-n кратно 3 при всех натуральных n

Решение: Вынесем n за скобки. Получим: [latex]n(n^2-1)[/latex] А выражение в скобках раскроем как разность квадратов: [latex]n(n-1)(n+1)[/latex] И теперь возможны три случая: 1) Пусть n = 3k, где k - целое число (иначе говоря, делится на 3). Тогда, [latex]\frac{3k(3k+1)(3k-1)}{3} = k(3k+1)(3k-1)[/latex] 2) Пусть n = 3k + 1, где k - целое число (делится на 3 с остатком 1) Тогда, [latex]\frac{(3k+1)(3k+1-1)(3k+1+1)}{3} = \frac{3k(3k+1)(3k+2)}{3} = k(3k+1)(3k+2)[/latex]. И это число делится на 3. 3) Пусть n = 3k + 2 (с теми же условиями, что и выше, только число делится на 3 с остатком 2). Тогда, [latex]\frac{(3k+2)(3k+2-1)(3k+2+1)}{3} = \frac{3(k+1)(3k+1)(3k+2)}{3} = (k+1)(3k+1)(3k+2)[/latex]. И это число тоже делится на 3. Таким образом, и выражение n^3-n тоже делится на 3 без остатка.