Помогите вычислить пределы функции. Решить пожалуйста по подробнее, что бы я сама поняла как это решать. За ранние спасибо

[latex]\lim_{x \to 1} \frac{4x^2+x-5}{x^2-2x+1} [/latex]   Это предел вида 0/0, поэтому, что бы решить данный предел, мы разложим его на множители. При этом, общий множитель, обязан быть (в нашем случае) [latex](x-1)[/latex], как я это нашел? Все просто, видите к чему стремится икс? Правильно, к единице. Так что бы найти общий множитель предела такого вида, нужно, от икса отнять число, к которому он стремится. Получаем: [latex]\lim_{x \to 1} \frac{4x^2+x-5}{x^2-2x+1}= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(4x+5)}{(x-1)^2}= \lim_{x \to 1} (4x+5)= 9[/latex] У вас при самостоятельном решении, появится поначалу трудность для раскладки выражения на множители. Но это просто, нужно поделить данное уравнение, на общий множитель столбиком. Про это я рассказывать не буду. Но дам совет, наберите в интернете "Деление многочленов столбиком", очень вам поможет ( в школе это не изучают по какой то причине). 2) Данный предел имеет вид n/0, где n любое число. Данный предел в любом случае, будет равен либо: [latex]+\infty[/latex] Либо : [latex]-\infty[/latex] Либо: С одной стороны [latex]+\infty[/latex], с другой стороны [latex]-\infty[/latex] Значит запишем предел: [latex] \lim_{x \to -1} \frac{x^2+3x-1}{x^3+1} [/latex] Теперь, нам нужно найти значения икса, при котором числитель будет нулем, потом найти значение икса при котором, знаменатель равен 0: Получаем 2 уравнения: [latex]x^2+3x-1=0[/latex] [latex]x^3+1=0[/latex] Решим их: 1)[latex]x^2+3x-1=0[/latex] [latex] \sqrt{D}= \sqrt{b^2-4ac}= \sqrt{9+4}= \sqrt{13} [/latex] [latex]x_{1,2}= \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2} [/latex] 2) [latex]x^3+1=0[/latex] [latex]x^3=-1[/latex] [latex]x_3=-1[/latex] Теперь, отметим на числовой прямой данные точки:       ------([latex]\frac{-3-\sqrt{13}}{2}[/latex])-----(-1)------([latex]\frac{-3+\sqrt{13}}{2}[/latex])-----> Получили мы, 4 интервала: [latex](-\infty,\frac{-3-\sqrt{13}}{2})(\frac{-3-\sqrt{13}}{2},-1)(-1,\frac{-3+\sqrt{13}}{2})(\frac{-3+\sqrt{13}}{2}),+\infty)[/latex] Так как предел стремится к (-1), то нам нужны только интервалы с (-1). Теперь, проверим их знаки:  [latex](\frac{-3-\sqrt{13}}{2},-1)=+[/latex] - просто подбираете число из интервала , я лично взял -2, и вставляете в нашу дробь, и получаете знак. [latex](-1,\frac{-3+\sqrt{13}}{2})=-[/latex] Отсюда следует следующий вывод, когда икс стремится к (-1) с права: [latex] \lim_{x \to -1+0} \frac{x^2+3x-1}{x^3+1} = -\infty[/latex] - предел стремится к минус бесконечность. А когда икс стремится к (-1) слева: [latex] \lim_{x \to -1-0} \frac{x^2+3x-1}{x^3+1}= +\infty[/latex]- предел стремится к плюс бесконечность. Это и есть ответ. 3) Опять предел вида 0/0 (можете проверить). Но здесь не получиться разложить на множители как в 1 примере. Здесь нужно избавиться от корня в числителе:  [latex] \lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{5x+1}-4}{x^2+2x-15} [/latex] Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное с числителем, то есть на [latex]\sqrt{5x+1}+4[/latex]: [latex]\lim_{x \to 3} \frac{ (\sqrt{5x+1}-4)(\sqrt{5x+1}+4)}{(x^2+2x-15)(\sqrt{5x+1}+4)} [/latex] Мы получили в числителе, разность, квадратов: [latex]\lim_{x \to 3} \frac{ (\sqrt{5x+1}-4)(\sqrt{5x+1}+4)}{(x^2+2x-15)(\sqrt{5x+1}+4)}=\lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{5x+1})^2-16}{(x^2+2x-15)(\sqrt{5x+1}+4)} [/latex] То есть: [latex]\lim_{x \to 3} \frac{5x-15}{(x^2+2x-15)(\sqrt{5x+1}+4)}[/latex] Но снова не задача. Опять получаем 0/0. Смотрим еще, мы можем упростить уравнение в числителе, и уравнение без корня, в знаменателе: Берем за общий множитель, (x-3) - как в 1 примере. Получаем: [latex]\lim_{x \to 3} \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+5)(\sqrt{5x+1}+4)}=\lim_{x \to 3} \frac{5}{(x+5)(\sqrt{5x+1}+4)}[/latex]   Осталось подставить тройку, и получим: [latex] \lim_{x \to 3} \frac{ \sqrt{5x+1}-4}{x^2+2x-15} = \frac{5}{64} [/latex]