Построить график функции y = 2∛(x²) * e^(x/3) по следующему алгоритму: 1) Область определения функции 2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x- больше +- ∞) 3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найт...

Дано: [latex] y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } [/latex] ; Исследовать функцию и построить график. Решение: 1) Функция определена при любых аргументах. D(f) ≡ R ≡ [latex] ( -\infty ; +\infty ) [/latex] ; 2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это: [latex] y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} } [/latex] ; [latex] y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} } [/latex] ≠ ± 1 при любых аргументах ; [latex] y(-x)/y(x) [/latex] ≠ ± 1 ; Найдём первую производную функции y(x) : [latex] y'(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )' = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )' = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } = [/latex] [latex] = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{3} ( \frac{2}{x^\frac{1}{3} } - x^\frac{2}{3} ) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 x^{1/3} } ( 2 - x ) [/latex] ; [latex] y'(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) [/latex] ; При x = 0, производная y'(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля. Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа [latex] \lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 [/latex] ; [latex] \lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 [/latex] ; 3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет. Если приравнять функцию к нолю, получим: [latex] y(x) = 0 [/latex] ; [latex] \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = 0 [/latex] ; Что возможно только при [latex] \sqrt[3]{x^2} = 0 [/latex] , т.е. при x = 0 ; Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику. 4. Найдем асимптоты y(x). Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот. Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± [latex] \infty [/latex] : [latex] \lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } = [/latex] [latex] = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } } e^{ \frac{-x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } + \frac{-x}{3} } = [/latex] [latex] = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} ( 1 + \frac{ 2 \ln{ (-x) } }{ -x } ) } > \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty [/latex] ; [latex] \lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty [/latex] ; [latex] \lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } = [/latex] [latex] = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} } e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} - \frac{x}{3} } = [/latex] [latex] = \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} ( 1 - \frac{ 2 \ln{x} }{x} ) } < \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} } \leq 0 [/latex] ; Поскольку, [latex] \lim_{x \to +\infty} y(x) \geq 0 [/latex] , то: [latex] \lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 [/latex] ; Значит, уходя на отрицательную бесконечность аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ; Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0 . Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу: [latex] \lim_{x \to -\infty} y'(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) < \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) [/latex] ; [latex] \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) = \lim_{x \to -\infty} ( -\frac{1}{3} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ) = -\infty [/latex] – по доказанному в пределе самой функции . [latex] \lim_{x \to -\infty} y'(x) = -\infty [/latex] ; А это означает, что наклонной асимптоты на отрицательной бесконечности нет. А на положительной – горизонтальная. Кроме того, легко показать, что: [latex] \lim_{x \to -0} y'(x) = -\infty [/latex] , а [latex] \lim_{x \to +0} y'(x) = +\infty [/latex] , поскольку: [latex] \lim_{x \to -0} y'(x) = \lim_{x \to -0} \frac{ e^{ -\frac{-0}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{-0} } ( 2 - (-0) ) = -\infty [/latex] и: [latex] \lim_{x \to +0} y'(x) = \lim_{x \to +0} \frac{ e^{ -\frac{+0}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{+0} } ( 2 - (+0) ) = +\infty [/latex] ; А всё это значит, что график входит в критическую точку ( 0 , 0 ) сверху вниз вдоль оси Oy и выходит вдоль неё же снизу вверх.