При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

При делении получится некоторый многочлен степени n:   [latex]\frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n[/latex]   Избавимся от знаменателя:   [latex](1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)[/latex]   Раскроем скобки в правой части:   [latex]a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=[/latex] [latex]a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}[/latex]   Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1: a_0=1 a_0+a_1=0 a_0+a_1+a_2=1 ... [latex]a_0+a_1+a_2+...+a_n=1[/latex], при чётном n [latex]a_0+a_1+a_2+...+a_n=0[/latex], при нечётном n ... a_n=1   Отсюда получаем, что [latex]a_1=-1[/latex],  [latex]a_2=1[/latex],  [latex]a_3=-1[/latex],  [latex]a_4=1[/latex], и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.   Так как a_n=1, то очевидно, что n должно быть чётным, при этом при любом чётном n будут существовать корректные наборы коэффициентов a_i.   Ответ: при любом чётном n.