При каких значениях b неравенство [latex] x^2+2ax+4bx+2a^2b+4b^2-2ab-6b+15 \leq 0 [/latex] не имеет решений ни при каком значении а?

Перепишем: [latex](x^2+4b^2+a^2+4bx+2ax+4ab)-a^2+2a^2b+\\-6ab-6b+15\leqslant 0[/latex] В левой части неравенства угадывается формула квадрата суммы, всё, что осталось, переносим в правую часть. [latex](x+2b+a)^2\leqslant -(2b-1)a^2+6ab+6b-15[/latex] Если нужно, чтобы у неравенства не было решений, правая часть должна была отрицательной: [latex]-(2b-1)a^2+6ab+6b-15<0\\(2b-1)a^2-6ab+15-6b > 0[/latex] Вспоминаем, что нужно найти такие b, чтобы такое неравенство выполнялось при всех a. Относительно a левая часть либо линейная функция (при b = 1/2), либо квадратичная. Разбираем случаи: 1) b = 1/2. Тогда при всех a должно быть так: [latex]12-3a > 0[/latex] Понятно, что это выполняется не при всех a, так что b = 1/2 в ответ входить не должно. 2) b не равно 1/2. Квадратный трёхчлен [latex](2b-1)a^2-6ab+15-6b[/latex] должен принимать только положительные значения. Как известно, так будет, если: 1. Коэффициент при a^2 положительный и 2. Дискриминант отрицательный. Первое условие: [latex]2b-1 > 0\\b > \dfrac12[/latex] Второе условие: [latex]\dfrac D4=9b^2+(6b-15)(2b-1) < 0\\21b^2-36b+15 < 0\\7b^2-12b+5 < 0\\b\in\left(\dfrac57,1\right)[/latex] Окончательно 5/7 < b < 1